TURUNAN FUNGSI

Turunan fungsi ( diferensial ) adalah fungsi lain dari suatu fungsi sebelumnya, misalnya fungsi f menjadi f' yang mempunyai nilai tidak beraturan

Turunan fungsi ( diferensial ) adalah fungsi lain dari suatu fungsi sebelumnya, misalnya fungsi f menjadi f' yang mempunyai nilai tidak beraturan. Konsep turunan sebagai bagian utama dari kalkulus dipikirkan pada saat yang bersamaan oleh Sir Isaac Newton ( 1642 – 1727 ), ahli matematika dan fisika bangsa Inggris dan Gottfried Wilhelm Leibniz ( 1646 – 1716 ), ahli matematika bangsa Jerman. Turunan ( diferensial ) digunakan sebagai suatu alat untuk menyelesaikan berbagai masalah dalam geometri dan mekanika

Aturan menentukan turunan fungsi

Turunan dapat ditentukan tanpa proses LIMIT. Untuk keperluan ini dirancang TEOREMA tentang turunan dasar, turunan dari operasi aljabar pada dua fungsi, aturan rantai untuk turunan fungsi komposisi, dan turunan fungsi invers.

Turunan dasar

Aturan – aturan dalam turunan fungsi adalah :

1. f(x), maka f'(x) = 0
2. Jika f(x) = x, maka f’(x) = 1
3. Aturan pangkat : Jika f(x) = xn, maka f’(x) = n X n – 1 
4. Aturan kelipatan konstanta : (kf) (x) = k. f’(x)-Aturan rantai : ( f o g ) (x) = f’ (g (x)). g’(x))

Turunan jumlah, selisih, hasil kali dan hasil bagi kedua fungsi

Misalkan fungsi f dan g terdiferensialkan pada selang I, maka fungsi f + g, f – g, fg, f/g, ( g (x) ≠ 0 pada I ) terdiferensialkan pada I dengan aturan :

1. ( f + g )’ (x) = f’ (x) + g’ (x)
2. ( f – g )’ (x) = f’ (x) – g’ (x)
3. (fg)’ (x) = f’(x) g(x) + g’(x) f(x)
4. ((f)/g )’ (x) = (g(x) f’ (x)- f(x) g’ (x))/((g(x)2)

Turunan fungsi trigonometri

1. d/dx ( sin x ) = cos x
2. d/dx ( cos x ) = – sin x
3. d/dx ( tan x ) = sec2 x
4. d/dx ( cot x ) = – csc2 x
5. d/dx ( sec x ) = sec x tan x
6. d/dx ( csc x ) = -csc x cot x

Turunan fungsi invers

(f-1)(y) = 1/(f’ (x)), atau dy/dx 1/(dx/dy)

Contoh soal :

1. .Diketahui  f’(x) adalah turunan dari f(x) = 5x3 + 2x2 + 6x + 12,tentukan nilai f’(x) adalah….

Penyelesaian :

              f(x) = 5x3 +2x2 + 6x + 12

              f’(x) = 15x2+ 4x +6

              f’(3) = 15 . 32  +4 . 3 + 6

                      = 135 + 12 + 6

                      = 153

1.  Turunan pertama dari f(x) = sin3(3x2 – 2) adalah f‘(x) = …

Penyelesaian:

               f(x) = sin3(3x2 – 2)

              f’(x) = sin(3-1)(3x2 – 2).3.6x.cos (3x2 – 2)

                        = 18x sin2(3x2 – 2) cos (3x2 – 2)

Turunan atau Derivatif dalam ilmu kalkulus merupakan pengukuran terhadap bagaimana fungsi berubah seiring perubahan nilai input. Secara umum, turunan menyatakan bagaimana suatu besaran berubah akibat perubahan besaran lainnya; contohnya, turunan dari posisi sebuah benda bergerak terhadap waktu adalah kecepatan sesaat objek tersebut.

Proses dalam menemukan turunan disebut diferensiasi

Misalnya  y merupakan fungsi dari x atau dapat ditulis juga y=f(x). Turunan dari y terhadap x dinotasikan sebagai berikut:

Dengan menngunakan definisi turunan diatas dapat diturunkan beberapa rumus-rumus turunan, yaitu 

1. Jika diketahui  dimana C dan n konstanta real, maka 
Perhatikan contoh berikut :

2. Jika diketahui  y=C dan 

Perhatikan contoh berikut 

3. Untuk y=f(x)+g(x) maka 

Perhatikan contoh berikut :

 


KAIDAH KAIDAHNYA

Kaidah diferensiasi (atau Aturan diferensiasi; bahasa Inggris: Rules of differentiation) berikut merupakan ringkasan kaidah-kaidah untuk menghitung derivatif suatu fungsi dalam kalkulus.

Diferensiasi adalah linier

Untuk fungsi-fungsi f dan g dan bilangan real a dan b apapun, turunan fungsi h(x) = af(x) + bg(x) terhadap x dapat ditulis

${\displaystyle h'(x)=af'(x)+bg'(x).\,}$

Dalam notasi Leibniz ini ditulis sebagai:

${\displaystyle {\frac {d(af+bg)}{dx}}=a{\frac {df}{dx}}+b{\frac {dg}{dx}}.}$

Kasus-kasus khusus meliputi:

• Kaidah faktor konstan

${\displaystyle (af)'=af'\,}$

• Kaidah penjumlahan

${\displaystyle (f+g)'=f'+g'\,}$

• Kaidah pengurangan

${\displaystyle (f-g)'=f'-g'.\,}$

Kaidah hasil kali

Artikel utama untuk bagian ini adalah: Kaidah darab

Untuk fungsi-fungsi f dan g, turunan fungsi h(x) = f(x) g(x) terhadap x dapat ditulis

${\displaystyle h'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x).\,}$

Dalam notasi Leibniz ini ditulis sebagai:

${\displaystyle {\frac {d(fg)}{dx}}={\frac {df}{dx}}g+f{\frac {dg}{dx}}.}$

Kaidah rantai

Turunan dari fungsi h(x) = f(g(x)) terhadap x dapat ditulis

${\displaystyle h'(x)=f'(g(x))g'(x).\,}$

Dalam notasi Leibniz ini ditulis sebagai:

${\displaystyle {\frac {dh}{dx}}={\frac {df(g(x))}{dg(x)}}{\frac {dg(x)}{dx}}.\,}$

Namun, dengan melonggarkan penafsiran h sebagai suatu fungsi, dapat ditulis lebih sederhana sebagai

${\displaystyle {\frac {dh}{dx}}={\frac {dh}{dg}}{\frac {dg}{dx}}.\,}$

Kaidah fungsi invers

Jika fungsi f mempunyai suatu fungsi invers g, yaitu g(f(x)) = x dan f(g(y)) = y, maka

${\displaystyle g'={\frac {1}{f'\circ g}}.}$

Dalam notasi Leibniz ini ditulis sebagai:

${\displaystyle {\frac {dx}{dy}}={\frac {1}{dy/dx}}.}$

RUMUS TURUNAN

• 
• ${\displaystyle (u^{n})'=nu^{n-1}u'\,}$
• ${\displaystyle (u+v)'=u'+v'\,}$
• ${\displaystyle (u-v)'=u'-v'\,}$
• ${\displaystyle (uv)'=u'v+uv'\,}$
• ${\displaystyle ({\frac {u}{v}})'={\frac {u'v-uv'}{v^{2}}}\,}$

Eksponen dan bilangan natural

• ${\displaystyle (e^{x})'=e^{x}\,}$
• ${\displaystyle (a^{x})'=a^{x}lna\,}$

Logaritma dan bilangan natural

• ${\displaystyle (lnx)'={\frac {1}{x}}\,}$
• ${\displaystyle (log_{a}(x))'={\frac {1}{xlna}}\,}$

Trigonometri

• ${\displaystyle (\sin x)'=cosx\,}$
• ${\displaystyle (\cos x)'=-sinx\,}$
• ${\displaystyle (\tan x)'=sec^{2}x\,}$
• ${\displaystyle (\cot x)'=-csc^{2}x\,}$
• ${\displaystyle (\sec x)'=secxtanx\,}$
• ${\displaystyle (\csc x)'=-cscxcotx\,}$

Invers

• ${\displaystyle (\arcsin x)'={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$
• ${\displaystyle (\arccos x)'=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$
• ${\displaystyle (\arctan x)'={\frac {1}{1+x^{2}}}}$
• ${\displaystyle (\operatorname {arccot} x)'=-{\frac {1}{1+x^{2}}}}$
• ${\displaystyle (\operatorname {arcsec} x)'={\frac {1}{x{\sqrt {x^{2}-1}}}}}$
• ${\displaystyle (\operatorname {arccsc} x)'=-{\frac {1}{x{\sqrt {x^{2}-1}}}}}$

Hiperbolik

• ${\displaystyle (\sinh x)'=coshx\,}$
• ${\displaystyle (\cosh x)'=sinhx\,}$
• ${\displaystyle (\tanh x)'=sech^{2}x\,}$
• ${\displaystyle (\coth x)'=-csch^{2}x\,}$

Turunan fungsi penjumlahan

Misalkan F(x) adalah penjumlahan dua fungsi U dan V dengan U dan V adalah fungsi dari x:

F(x) = U + V

Maka turunan dari F(x) dirumuskan sebagai berikut:

F'(x) = U' + V'

Untuk lebih jelasnya dapat diperhatikan contoh soal berikut:

Nomor 1

Jika f(x) = x + 2 maka f'(x) = ...

A. 1

B. 2

C. x

D. x + 1

E. x + 2

Pembahasan

Misal:

U = x maka U' = 1x^(1 - 1) = 1 {ingat jika x saja berarti pangkatnya 1}.

V = 2 maka V' = 0 {ingat jika angka saja maka turunannya 0}.

Sehingga:

f'(x) = U' + V' = 1 + 0 = 1

Jawaban: A

Nomor 2

Jika f(x) = x^2 + 10 maka f'(x) = ...

A. x + 1

B. 2x

C. 2x + 10

D. 2x + 20

E. 4x

Pembahasan

Misal:

U = x^2 maka U' = 2x

V = 10 maka V' = 0

Jadi,

f'(x) = U' + V' = 2x + 0 = 2x

Jawaban: 2x

Nomor 3

Jika f(x) = x - 1/x maka f'(x) = ...

A. 1 - 1/x2

B. 1 + 1/x2

C. 0

D. 1 - x2

E. 1 + x2

Pembahasan

Misal:

U = x maka U' = 1

V = 1/x = x^(-1) maka V' = (-1) x^(-1 - 1) = -x^(-2)

Jadi,

f'(x) = U' + V' = 1 + (-x^(-2)) = 1 - 1/x^2

Jawaban: A

Nomor 4

Jika f(x) = 2x √x - √x maka f'(x) = ...

A. √x - √x/x

B. 2√x - √x/2x

C. 3√x - √x/2x

D. 3√x - 2√x/x

E. 3√x - √x/x

Pembahasan

Misal:

U = 2x √x = 2x . x^1/2 = 2x^(1 + 1/2) = 2x^3/2 maka U' = 2 . 3/2 x^(3/2 - 1) = 3x^1/2 (ingat akar menunjukkan pangkat 1/2)

V = √x = x^1/2 maka V' = 1/2 x^(1/2 - 1) = 1/2 x^(-1/2)

Jadi,

f'(x) = U' + V' = 3x^1/2 - 1/2x^(-1/2) = 3√x - 1/2/√x

f'(x) = 3√x - √x/2x

Jawaban: C

Nomor 5

Jika f(x) = 2x^2 + 6x + 1 maka f'(x) = ...

A. 2

B. 4

C. 4x + 6

D. 4x + 8

E. 4x + 10

Pembahasan

Misal:

U = 2x^2 maka U' = 4x

V = 6x maka V' = 6

Z = 1 maka Z' = 0

Jadi, jika f'(x) = U + V + Z maka f'(x) = U' + V' + Z'

f'(x) = 4x + 6 + 0 = 4x + 6

Jawaban: C

RUMUSAN TURUNAN PERKALIAN DAN PEMBAGIAN

Perkalian

f'(x)=u(x).v'(x)+u'(x).v(x)

contoh soal:

1. tentukan Y' dari

Y= (2x²+x)(4x+1)

Jawab:

U=2x²+x

U’=4x+1

V=4x+1

V’=4

Y’=U’V+UV’

Y’=(4X+1)(4x+1)+(2x²+x)(4)

Y’=(16x²+4x+4x+1)+(8x²+4x)

Y’=24x²+12x+1

Pembagian 

Jika kita memiliki persamaan y= f(x)/g(x), dengan f(x), g(x) memiliki satu variabel linear; atau dapat kita tulis y=(ax + b)/(cx+d), maka untuk mendapatkan nilai turunannya adalah kita biasa memisalkan ax+b=u dan cx+d=v, sehingga kita mendapatkan nilai turunan sebagai berikut;

Pembagian 

Jika kita memiliki persamaan y= f(x)/g(x), dengan f(x), g(x) memiliki satu variabel linear; atau dapat kita tulis y=(ax + b)/(cx+d), maka untuk mendapatkan nilai turunannya adalah kita biasa memisalkan ax+b=u dan cx+d=v, sehingga kita mendapatkan nilai turunan sebagai berikut;

JK Pembagian 

Jika kita memiliki persamaan y= f(x)/g(x), dengan f(x), g(x) memiliki satu variabel linear; atau dapat kita tulis y=(ax + b)/(cx+d), maka untuk mendapatkan nilai turunannya adalah kita biasa memisalkan ax+b=u dan cx+d=v, sehingga kita mendapatkan nilai turunan sebagai berikut;

CONTOH TENTUKAN TURUNAN DARI

Jawab:

Cukup panjang. Bagaimana cara cepatnya?

Ok. Coba Perhatikan.

“Koefisien (a) pada fungsi pembilang dikalikan dengan konstan pada fungsi penyebut dikurangi dengan Koefisien (c) pada fungsi penyebut dikalikan dengan konstan pada fungsi pembilang, lalu dibagi dengan fungsi penyebut kuadrat.”

Dari contoh di atas, maka

Singkat sekali bukan? Dan bisa digunakan untuk menghitung turunan tanpa kertas (dengan membayangkan).

Trigonometri

Trigonometri (dari bahasa Yunani trigonon = tiga sudut dan metro = mengukur) adalah sebuah cabang matematika yang berhadapan dengan sudut segitiga dan fungsi trigonometrik seperti sinus, cosinus dan tangen. Trigonometri memiliki hubungan dengan geometri, meskipun ada ketidaksetujuan tentang apa hubungannya; bagi beberapa orang, trigonometri adalah bagian dari geometri. Dibawah ini Anda dapat menemukan rumus trigonometri beserta contoh soal dan jawabannya.

Sejarah awal

Awal trigonometri dapat dilacak hingga zaman Mesir Kuno dan Babilonia dan peradaban Lembah Indus, lebih dari 3000 tahun yang lalu. Matematikawan India adalah perintis penghitungan variabel aljabar yang digunakan untuk menghitung astronomi dan juga trigonometri.

KONSEP Trigonometri

Dasar dari Trigonometri adalah Konsep kesebangunan segitiga siku-siku. Sisi-sisi yang bersesuaian pada dua bangun datar yang sebangun memiliki perbandingan yang sama. Pada geometri Euclid, jika masing-masing sudut pada dua segitiga memiliki besar yang sama, maka kedua segitiga itu pasti sebangun. Hal ini adalah dasar untuk perbandingan trigonometri sudut lancip. Konsep ini lalu dikembangkan lagi untuk sudut-sudut non lancip (lebih dari 90 derajat dan kurang dari nol derajat).

1.    Pada segitiga ABC lancip, diketahui cos A = 4/5 dan sin B = 12/13 maka sin C = ...
a.    20/65
b.    36/65
c.    56/65
d.    60/65
e.    63/65
Pembahasan:
Jika cos A = 4/5, maka: sin A = 3/5 (didapat dari segitiga siku-siku berikut ini: 
(ingat ya, bahwa cos itu samping/miring dan sin itu depan/miring)

Jika sin B = 12/13 maka cos B = 5/13 (didapat dari segitiga siku-siku berikut ini: 

Maka, sin C = sin A . cos B + sin B . cos A
                    = 3/5 . 5/13 + 12/13 . 4/5
                    = 15/65 + 48/65
                    = 63/65
Jawaban: E