INTEGRAL

kali ini gw akan membahas tentang pengertian integral dan aturan dasar integral

Integral adalah kebalikan dari proses diferensiasi. Integral ditemukan menyusul ditemukannya masalah dalam diferensiasi di mana matematikawan harus berpikir bagaimana menyelesaikan masalah yang berkebalikan 

ATURAN DASAR INTEGRAL

The power rule

The exponential rule

The logarithmic rule

The integral of sum

The integral of multiple

The substitution rule

The integration by parts

Trigonometric rules

TERIMA KASIH

MATRIKS

          hai semua apa kabar ? semoga kabar kalian baik yaa
pada postingan blog kali ini aku mau memberi materi mengenai MATRIKS nih
okelah langsung aja yuk kita belajar , apa sih itu MATRIKS ?

DEFINISI MATRIKS

matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang diatur berdasarkan baris dan kolom.

nah jadi didalam matriks itu terdapat baris dan kolomnya nih guys .baris dan kolomnya terdapat didalam kurung , untuk memberi nama suatu matriks digunakan 1 huruf kapita, misalnya nih ya A,B,C atau X. sedangkan untuk elemen matriks diberi notasi dengan huruf kecil sesuai dengan nama matriksnya. misal nih guys jika matriksnya A maka elemen-elemennya dinyatakan dengan a ( huruf kecil )

dah mulai ada gambarannya kan guys :D  ?

oke deh selanjutnya kita bahas teori matriks

TEORI MATRIKS

nah tadi telah disebutin diatas kan guys kalo matriks itu susunan bilangan-bilangan yang diatur berdasarkan baris dan kolom. yang terletak didalam kurung sehingga menyerupai bangunan persegi Sebagai contoh, dimensi matriks di bawah ini adalah A= 2 × 3 , karena terdiri dari dua baris dan tiga kolom:

ini hanya sebagai contoh yaa guys cara penulisan matrik 2 baris dan 3 kolom ( angka yang dari atas ke bawah menunjukkan baris dan dari kiri ke kanan menunjukkan kolom ) dan dapat disebut ordo matriks A adalah = 2 x 3

ok deh kita lanjut kepembahasan selanjutnya yaitu

OPERASIONAL MATRIKS 

nah didalam matriks ini terdapat penjumlahan matriks , pengurangan matriks , perkalian matriks etc.
oke deh kita bahas yang pertama yuk yaitu penjumlahan matriks

a.penjumlahan matriks

jumlah 2 matriks A dan B (ditulis A+B) adalah matriks yang didapat dengan menjumlahkan setiap elemen A dengan elemen B yang  bersesuaian ( A dan B harus berordo sama).
contoh :

sifat-sifatnya
sifat komutatif A + B = B + A
sifat asosiatif   A+(B+C)=(A+B)+C
terdapat unsur identitas penjumlahan, yaitu 0 sehingga A+0=0+A=A

simpel kan okeh deh kita bahas yang pengurangan matriks sekarang :)

b.pengurangan matriks
pengurangan matriks A dan B dilakukan dengan menjumlahkan matriks A dengan lawan matriks B. 
A-B = A + (-B)
contoh :

c.perkalian matriks dengan skalar

jika k adalah suatu skalar dan A suatu matriks maka kA adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan setiap elemen A dengan K.

contoh :

sifat-sifatnya
jika p dan q bilangan real serta A dan B matriks berordo sama maka berlaku

i. (p+q)A=pA+qA
ii. p(A+B)=pA+pB
iii . p(qA)=(pq) A

okelah guys sekarang kita bahas jenis-jenis matriks :D


yang pertama ada

transporse matriks
transporse dari matriks A adalah matriks yang diperoleh dari matriks Adengan menukar elemen pada baris menjadi elemen pada kolom

contoh 

kesamaan matriks

matriks A=a dinyatakan sama dengan matriks B=b jika
a) A dan B berordo sama
b) a=b untuk semua i dan j ( semua elemen yang terletak sama )

matriks A sama dengan matriks B dilambangkan dengan A=B

contoh

matriks A=C sebab ordonya sama dan semua elemen yang terletak sama 

matriks invers

jika A dan B adalah matriks bujur sangkar dengan ordo yang sama dan AB=BA=I maka B dikatakan invers dari A

contoh

oke guyss sekian dari gw ... wassalamu alaikum warahmatullahi wabarokatu

SEMOGA BERMANFAAT 

TURUNAN FUNGSI

Turunan fungsi ( diferensial ) adalah fungsi lain dari suatu fungsi sebelumnya, misalnya fungsi f menjadi f' yang mempunyai nilai tidak beraturan

Turunan fungsi ( diferensial ) adalah fungsi lain dari suatu fungsi sebelumnya, misalnya fungsi f menjadi f' yang mempunyai nilai tidak beraturan. Konsep turunan sebagai bagian utama dari kalkulus dipikirkan pada saat yang bersamaan oleh Sir Isaac Newton ( 1642 – 1727 ), ahli matematika dan fisika bangsa Inggris dan Gottfried Wilhelm Leibniz ( 1646 – 1716 ), ahli matematika bangsa Jerman. Turunan ( diferensial ) digunakan sebagai suatu alat untuk menyelesaikan berbagai masalah dalam geometri dan mekanika

Aturan menentukan turunan fungsi

Turunan dapat ditentukan tanpa proses LIMIT. Untuk keperluan ini dirancang TEOREMA tentang turunan dasar, turunan dari operasi aljabar pada dua fungsi, aturan rantai untuk turunan fungsi komposisi, dan turunan fungsi invers.

Turunan dasar

Aturan – aturan dalam turunan fungsi adalah :

1. f(x), maka f'(x) = 0
2. Jika f(x) = x, maka f’(x) = 1
3. Aturan pangkat : Jika f(x) = xn, maka f’(x) = n X n – 1 
4. Aturan kelipatan konstanta : (kf) (x) = k. f’(x)-Aturan rantai : ( f o g ) (x) = f’ (g (x)). g’(x))

Turunan jumlah, selisih, hasil kali dan hasil bagi kedua fungsi

Misalkan fungsi f dan g terdiferensialkan pada selang I, maka fungsi f + g, f – g, fg, f/g, ( g (x) ≠ 0 pada I ) terdiferensialkan pada I dengan aturan :

1. ( f + g )’ (x) = f’ (x) + g’ (x)
2. ( f – g )’ (x) = f’ (x) – g’ (x)
3. (fg)’ (x) = f’(x) g(x) + g’(x) f(x)
4. ((f)/g )’ (x) = (g(x) f’ (x)- f(x) g’ (x))/((g(x)2)

Turunan fungsi trigonometri

1. d/dx ( sin x ) = cos x
2. d/dx ( cos x ) = – sin x
3. d/dx ( tan x ) = sec2 x
4. d/dx ( cot x ) = – csc2 x
5. d/dx ( sec x ) = sec x tan x
6. d/dx ( csc x ) = -csc x cot x

Turunan fungsi invers

(f-1)(y) = 1/(f’ (x)), atau dy/dx 1/(dx/dy)

Contoh soal :

1. .Diketahui  f’(x) adalah turunan dari f(x) = 5x3 + 2x2 + 6x + 12,tentukan nilai f’(x) adalah….

Penyelesaian :

              f(x) = 5x3 +2x2 + 6x + 12

              f’(x) = 15x2+ 4x +6

              f’(3) = 15 . 32  +4 . 3 + 6

                      = 135 + 12 + 6

                      = 153

1.  Turunan pertama dari f(x) = sin3(3x2 – 2) adalah f‘(x) = …

Penyelesaian:

               f(x) = sin3(3x2 – 2)

              f’(x) = sin(3-1)(3x2 – 2).3.6x.cos (3x2 – 2)

                        = 18x sin2(3x2 – 2) cos (3x2 – 2)

Turunan atau Derivatif dalam ilmu kalkulus merupakan pengukuran terhadap bagaimana fungsi berubah seiring perubahan nilai input. Secara umum, turunan menyatakan bagaimana suatu besaran berubah akibat perubahan besaran lainnya; contohnya, turunan dari posisi sebuah benda bergerak terhadap waktu adalah kecepatan sesaat objek tersebut.

Proses dalam menemukan turunan disebut diferensiasi

Misalnya  y merupakan fungsi dari x atau dapat ditulis juga y=f(x). Turunan dari y terhadap x dinotasikan sebagai berikut:

Dengan menngunakan definisi turunan diatas dapat diturunkan beberapa rumus-rumus turunan, yaitu 

1. Jika diketahui  dimana C dan n konstanta real, maka 
Perhatikan contoh berikut :

2. Jika diketahui  y=C dan 

Perhatikan contoh berikut 

3. Untuk y=f(x)+g(x) maka 

Perhatikan contoh berikut :

 


KAIDAH KAIDAHNYA

Kaidah diferensiasi (atau Aturan diferensiasi; bahasa Inggris: Rules of differentiation) berikut merupakan ringkasan kaidah-kaidah untuk menghitung derivatif suatu fungsi dalam kalkulus.

Diferensiasi adalah linier

Untuk fungsi-fungsi f dan g dan bilangan real a dan b apapun, turunan fungsi h(x) = af(x) + bg(x) terhadap x dapat ditulis

${\displaystyle h'(x)=af'(x)+bg'(x).\,}$

Dalam notasi Leibniz ini ditulis sebagai:

${\displaystyle {\frac {d(af+bg)}{dx}}=a{\frac {df}{dx}}+b{\frac {dg}{dx}}.}$

Kasus-kasus khusus meliputi:

• Kaidah faktor konstan

${\displaystyle (af)'=af'\,}$

• Kaidah penjumlahan

${\displaystyle (f+g)'=f'+g'\,}$

• Kaidah pengurangan

${\displaystyle (f-g)'=f'-g'.\,}$

Kaidah hasil kali

Artikel utama untuk bagian ini adalah: Kaidah darab

Untuk fungsi-fungsi f dan g, turunan fungsi h(x) = f(x) g(x) terhadap x dapat ditulis

${\displaystyle h'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x).\,}$

Dalam notasi Leibniz ini ditulis sebagai:

${\displaystyle {\frac {d(fg)}{dx}}={\frac {df}{dx}}g+f{\frac {dg}{dx}}.}$

Kaidah rantai

Turunan dari fungsi h(x) = f(g(x)) terhadap x dapat ditulis

${\displaystyle h'(x)=f'(g(x))g'(x).\,}$

Dalam notasi Leibniz ini ditulis sebagai:

${\displaystyle {\frac {dh}{dx}}={\frac {df(g(x))}{dg(x)}}{\frac {dg(x)}{dx}}.\,}$

Namun, dengan melonggarkan penafsiran h sebagai suatu fungsi, dapat ditulis lebih sederhana sebagai

${\displaystyle {\frac {dh}{dx}}={\frac {dh}{dg}}{\frac {dg}{dx}}.\,}$

Kaidah fungsi invers

Jika fungsi f mempunyai suatu fungsi invers g, yaitu g(f(x)) = x dan f(g(y)) = y, maka

${\displaystyle g'={\frac {1}{f'\circ g}}.}$

Dalam notasi Leibniz ini ditulis sebagai:

${\displaystyle {\frac {dx}{dy}}={\frac {1}{dy/dx}}.}$

RUMUS TURUNAN

• 
• ${\displaystyle (u^{n})'=nu^{n-1}u'\,}$
• ${\displaystyle (u+v)'=u'+v'\,}$
• ${\displaystyle (u-v)'=u'-v'\,}$
• ${\displaystyle (uv)'=u'v+uv'\,}$
• ${\displaystyle ({\frac {u}{v}})'={\frac {u'v-uv'}{v^{2}}}\,}$

Eksponen dan bilangan natural

• ${\displaystyle (e^{x})'=e^{x}\,}$
• ${\displaystyle (a^{x})'=a^{x}lna\,}$

Logaritma dan bilangan natural

• ${\displaystyle (lnx)'={\frac {1}{x}}\,}$
• ${\displaystyle (log_{a}(x))'={\frac {1}{xlna}}\,}$

Trigonometri

• ${\displaystyle (\sin x)'=cosx\,}$
• ${\displaystyle (\cos x)'=-sinx\,}$
• ${\displaystyle (\tan x)'=sec^{2}x\,}$
• ${\displaystyle (\cot x)'=-csc^{2}x\,}$
• ${\displaystyle (\sec x)'=secxtanx\,}$
• ${\displaystyle (\csc x)'=-cscxcotx\,}$

Invers

• ${\displaystyle (\arcsin x)'={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$
• ${\displaystyle (\arccos x)'=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$
• ${\displaystyle (\arctan x)'={\frac {1}{1+x^{2}}}}$
• ${\displaystyle (\operatorname {arccot} x)'=-{\frac {1}{1+x^{2}}}}$
• ${\displaystyle (\operatorname {arcsec} x)'={\frac {1}{x{\sqrt {x^{2}-1}}}}}$
• ${\displaystyle (\operatorname {arccsc} x)'=-{\frac {1}{x{\sqrt {x^{2}-1}}}}}$

Hiperbolik

• ${\displaystyle (\sinh x)'=coshx\,}$
• ${\displaystyle (\cosh x)'=sinhx\,}$
• ${\displaystyle (\tanh x)'=sech^{2}x\,}$
• ${\displaystyle (\coth x)'=-csch^{2}x\,}$

Turunan fungsi penjumlahan

Misalkan F(x) adalah penjumlahan dua fungsi U dan V dengan U dan V adalah fungsi dari x:

F(x) = U + V

Maka turunan dari F(x) dirumuskan sebagai berikut:

F'(x) = U' + V'

Untuk lebih jelasnya dapat diperhatikan contoh soal berikut:

Nomor 1

Jika f(x) = x + 2 maka f'(x) = ...

A. 1

B. 2

C. x

D. x + 1

E. x + 2

Pembahasan

Misal:

U = x maka U' = 1x^(1 - 1) = 1 {ingat jika x saja berarti pangkatnya 1}.

V = 2 maka V' = 0 {ingat jika angka saja maka turunannya 0}.

Sehingga:

f'(x) = U' + V' = 1 + 0 = 1

Jawaban: A

Nomor 2

Jika f(x) = x^2 + 10 maka f'(x) = ...

A. x + 1

B. 2x

C. 2x + 10

D. 2x + 20

E. 4x

Pembahasan

Misal:

U = x^2 maka U' = 2x

V = 10 maka V' = 0

Jadi,

f'(x) = U' + V' = 2x + 0 = 2x

Jawaban: 2x

Nomor 3

Jika f(x) = x - 1/x maka f'(x) = ...

A. 1 - 1/x2

B. 1 + 1/x2

C. 0

D. 1 - x2

E. 1 + x2

Pembahasan

Misal:

U = x maka U' = 1

V = 1/x = x^(-1) maka V' = (-1) x^(-1 - 1) = -x^(-2)

Jadi,

f'(x) = U' + V' = 1 + (-x^(-2)) = 1 - 1/x^2

Jawaban: A

Nomor 4

Jika f(x) = 2x √x - √x maka f'(x) = ...

A. √x - √x/x

B. 2√x - √x/2x

C. 3√x - √x/2x

D. 3√x - 2√x/x

E. 3√x - √x/x

Pembahasan

Misal:

U = 2x √x = 2x . x^1/2 = 2x^(1 + 1/2) = 2x^3/2 maka U' = 2 . 3/2 x^(3/2 - 1) = 3x^1/2 (ingat akar menunjukkan pangkat 1/2)

V = √x = x^1/2 maka V' = 1/2 x^(1/2 - 1) = 1/2 x^(-1/2)

Jadi,

f'(x) = U' + V' = 3x^1/2 - 1/2x^(-1/2) = 3√x - 1/2/√x

f'(x) = 3√x - √x/2x

Jawaban: C

Nomor 5

Jika f(x) = 2x^2 + 6x + 1 maka f'(x) = ...

A. 2

B. 4

C. 4x + 6

D. 4x + 8

E. 4x + 10

Pembahasan

Misal:

U = 2x^2 maka U' = 4x

V = 6x maka V' = 6

Z = 1 maka Z' = 0

Jadi, jika f'(x) = U + V + Z maka f'(x) = U' + V' + Z'

f'(x) = 4x + 6 + 0 = 4x + 6

Jawaban: C

RUMUSAN TURUNAN PERKALIAN DAN PEMBAGIAN

Perkalian

f'(x)=u(x).v'(x)+u'(x).v(x)

contoh soal:

1. tentukan Y' dari

Y= (2x²+x)(4x+1)

Jawab:

U=2x²+x

U’=4x+1

V=4x+1

V’=4

Y’=U’V+UV’

Y’=(4X+1)(4x+1)+(2x²+x)(4)

Y’=(16x²+4x+4x+1)+(8x²+4x)

Y’=24x²+12x+1

Pembagian 

Jika kita memiliki persamaan y= f(x)/g(x), dengan f(x), g(x) memiliki satu variabel linear; atau dapat kita tulis y=(ax + b)/(cx+d), maka untuk mendapatkan nilai turunannya adalah kita biasa memisalkan ax+b=u dan cx+d=v, sehingga kita mendapatkan nilai turunan sebagai berikut;

Pembagian 

Jika kita memiliki persamaan y= f(x)/g(x), dengan f(x), g(x) memiliki satu variabel linear; atau dapat kita tulis y=(ax + b)/(cx+d), maka untuk mendapatkan nilai turunannya adalah kita biasa memisalkan ax+b=u dan cx+d=v, sehingga kita mendapatkan nilai turunan sebagai berikut;

JK Pembagian 

Jika kita memiliki persamaan y= f(x)/g(x), dengan f(x), g(x) memiliki satu variabel linear; atau dapat kita tulis y=(ax + b)/(cx+d), maka untuk mendapatkan nilai turunannya adalah kita biasa memisalkan ax+b=u dan cx+d=v, sehingga kita mendapatkan nilai turunan sebagai berikut;

CONTOH TENTUKAN TURUNAN DARI

Jawab:

Cukup panjang. Bagaimana cara cepatnya?

Ok. Coba Perhatikan.

“Koefisien (a) pada fungsi pembilang dikalikan dengan konstan pada fungsi penyebut dikurangi dengan Koefisien (c) pada fungsi penyebut dikalikan dengan konstan pada fungsi pembilang, lalu dibagi dengan fungsi penyebut kuadrat.”

Dari contoh di atas, maka

Singkat sekali bukan? Dan bisa digunakan untuk menghitung turunan tanpa kertas (dengan membayangkan).

Trigonometri

Trigonometri (dari bahasa Yunani trigonon = tiga sudut dan metro = mengukur) adalah sebuah cabang matematika yang berhadapan dengan sudut segitiga dan fungsi trigonometrik seperti sinus, cosinus dan tangen. Trigonometri memiliki hubungan dengan geometri, meskipun ada ketidaksetujuan tentang apa hubungannya; bagi beberapa orang, trigonometri adalah bagian dari geometri. Dibawah ini Anda dapat menemukan rumus trigonometri beserta contoh soal dan jawabannya.

Sejarah awal

Awal trigonometri dapat dilacak hingga zaman Mesir Kuno dan Babilonia dan peradaban Lembah Indus, lebih dari 3000 tahun yang lalu. Matematikawan India adalah perintis penghitungan variabel aljabar yang digunakan untuk menghitung astronomi dan juga trigonometri.

KONSEP Trigonometri

Dasar dari Trigonometri adalah Konsep kesebangunan segitiga siku-siku. Sisi-sisi yang bersesuaian pada dua bangun datar yang sebangun memiliki perbandingan yang sama. Pada geometri Euclid, jika masing-masing sudut pada dua segitiga memiliki besar yang sama, maka kedua segitiga itu pasti sebangun. Hal ini adalah dasar untuk perbandingan trigonometri sudut lancip. Konsep ini lalu dikembangkan lagi untuk sudut-sudut non lancip (lebih dari 90 derajat dan kurang dari nol derajat).

1.    Pada segitiga ABC lancip, diketahui cos A = 4/5 dan sin B = 12/13 maka sin C = ...
a.    20/65
b.    36/65
c.    56/65
d.    60/65
e.    63/65
Pembahasan:
Jika cos A = 4/5, maka: sin A = 3/5 (didapat dari segitiga siku-siku berikut ini: 
(ingat ya, bahwa cos itu samping/miring dan sin itu depan/miring)

Jika sin B = 12/13 maka cos B = 5/13 (didapat dari segitiga siku-siku berikut ini: 

Maka, sin C = sin A . cos B + sin B . cos A
                    = 3/5 . 5/13 + 12/13 . 4/5
                    = 15/65 + 48/65
                    = 63/65
Jawaban: E